Tentukan hasil dari \( \displaystyle \int \frac{e^{2x}-1 }{ e^{2x}-3 } \ dx = \cdots \ ? \)
Pembahasan:
Misalkan \( u = e^{2x} \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u = e^{2x} \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 2e^{2x} \\[8pt] \Leftrightarrow dx &= \frac{du}{2e^{2x}} \\[8pt] &= \frac{du}{2u} \end{aligned}
Substitusi hasil pemisalan di atas ke bentuk integral dalam soal, diperoleh:
\begin{aligned} \int \frac{e^{2x}-1 }{ e^{2x}-3 } \ dx &= \int \frac{u-1}{u-3} \cdot \frac{du}{2u} \\[8pt] &= \frac{1}{2} \int \frac{u-1}{u(u-3)} \ du \end{aligned}
Selanjutnya, gunakan teknik integral fungsi rasional untuk menyelesaikan integral baru yang diperoleh di atas. Kita akan jabarkan dulu fungsi dalam integralnya. Perhatikan berikut:
\begin{aligned} \frac{u-1}{u(u-3)} &= \frac{A}{u} + \frac{B}{u-3} \\[8pt] \frac{u-1}{u(u-3)} &= \frac{A(u-3)+Bu}{u(u-3)} \\[8pt] \frac{u-1}{u(u-3)} &= \frac{(A+B)u-3A}{u(u-3)} \\[8pt] 3A &=1 \Leftrightarrow A = \frac{1}{3} \\[8pt] A+B &= 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3}+B = 1 \\[8pt] B &= \frac{2}{3} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int \frac{e^{2x}-1 }{ e^{2x}-3 } \ dx &= \frac{1}{2} \int \frac{u-1}{u(u-3)} \ du = \frac{1}{2} \int \left( \frac{A}{u} + \frac{B}{u-3} \right) \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} \int \left( \frac{1/3}{u} + \frac{2/3}{u-3} \right) \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u-3} \ du \right) \\[8pt] &= \frac{1}{6} \ln |u| + \frac{1}{3} \ln|u-3| + C \\[8pt] &= \frac{1}{6}\ln|e^{2x}| + \frac{1}{3} \ln|e^{2x}-3|+C \\[8pt] &= \frac{2x}{6} \cdot \ln e + \frac{1}{3} \ln|e^{2x}-3|+C \\[8pt] &= \frac{1}{3}x+\frac{1}{3} \ln|e^{2x}-3|+C \end{aligned}